19ta Clase Métodos Numéricos

Ejercicios

1)

Descargar de eva.uca.edu.ar en el tema 3: fun.m (ponerla en la carpeta de MATLAB)

Tratar de resolver fun(X)=0

(hallar X/fun(X)=0 +- 10^-12)

1. Con bisección (sugerencia ver que fun(-2)>0 y fun(0)>0)
2. ¿Cuanto tarda?
3. ¿Se puede usar N-R?

2)

Buscar alguna solucion de

 |    2Z-XY^2=2XZ-3X^2

<|    XY^3-2ZY=X^2-1

 |    4Z^2X=Y^4*cos(2Z-3X)

1)

1. Elapsed time is 129.414639 seconds.

>> sol_ap=0;

>> i=0;

>> while (abs(fun(sol_ap))>10^-12)

i=i+1;

sol_ap=biseca(@fun,-2,0,i);

end

>> fun(sol_ap)

ans =

 1.6920e-013

>> i

i =

    39

>> sol_ap

sol_ap =

  -1.9625

b)

No se puede usar la técnica de Newton y Raphson por ser imposible calcular la derivada. Basta con ver el codigo.

2)

>> H=@(V) [2*V(3)-V(1).*V(2).^2-2*V(1)*V(3)+3*V(1).^2;V(1)*V(2)^3-2*V(3)*V(2)-V(1)^2+1;4*V(3)^2*V(1)-V(2)^4*cos(2*V(3)-3*V(1))];

Cualquiera que cargue H en matlab se dará cuenta lo facil que es cometer un error, confundir V(1) con V(2) o lo que sea.

Cargar DH sería un trabajo eterno.

Si uno se da la maña y lo hace deberia obtener:

>> sol=N_R(H,DH,[1;1;1],12)

    1.000

1.7321

1.5000

Ventajas y desventajas de N-R

Cuando converge suele hacerlo rápido

Se generaliza facil a varias variables

Puede usarse para hallar ceros aunque no haya cambio de signo

No siempre converge

No siempre es cómodo hallar DH

Método de la secante

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function x=secante(h,x0,x1,N)
x=x1;
xant=x0;
for k=1:N
temp=x-h(x).*(xant-x)./(h(xant)-h(x));
xant=x;
x=temp;
end

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>> sol=secante(@fun,-2,-1.9,8)

sol =

  NaN

>>

Cuando le doy demaciados pasos, puedo tener este problema. Es porque encontró la solución exacta y luego dividió por 0.

Para aproximar DH podemos pensar cada uno de sus terminos como por (H(X+e)-H(X-e))/2e con e muy chico.

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Paréntesis:

Nargin: cantidad de variables definidas en la entrada, recibidas realmente.

Por ejemplo la funcion JACOBS_APROX acepta tres terminos, si yo omito el último número, Nargin vale 2, si lo completo vale 3.

Nargout: cantidad de terminos de salida.

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>> F=@(X) exp(X^2)-2*X^5+X+1;

>> JACOB_APROX(F,2)

ans =

  59.3926

>> df=@(X) exp(X.^2).*2.*X-10.*X.^4+1;

>> df(2)

ans =

  59.3926

>>

Comprobado que da lo mismo (muy similar)

>> DH=@(X) JACOB_APROX(H,X);

>> sol=N_R(H,DH,[1;2;1],12)

sol =

    1.0000

    1.7321

    1.5000

>>

Para simplificar estos dos pasos anteriores en uno solo, creamos NR multi:

>> sol=NR_MULTI(H,[1;2;1],12)

sol =

    1.0000

    1.7321

    1.5000

>>

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function sol=NR_MULTI(H,x0,n,epsi)

if nargin==3

    epsi=sqrt(eps(1+norm(x0)));

end

sol=x0;

for k=1:n

    sol=sol-inv(JACOB_APROX(H,sol,epsi))*H(sol);

end

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