18va Clase Métodos Numéricos

Metodo bisección vimos en clase anterior.

Ahora estudiaremos el método de Newton - Raphson:

H(x)=0 (?

Ecuacion no lineal. No es facil o resulta imposible despejar x

IDEA: plantearemos una solucion lineal que se parezca a H.

Si X1 es una “solución aproximada” (o si X1 esta cerca de la solución)

Hallo Xn/H(Xn)=0

Busco L=H cerca de Xn lineal

Hallo Xn+1 : L(Xn+1)=0=H(Xn+1)

La propuesta: Si hitero un par de veces y H(Xn) se parece a 0, uso este metodo. De lo contrario busco la solucion en otra zona o cambio de metodo.

Se generaliza a varias variables:

L: DH(Xn) * (X-Xn) + H(Xn)=0

Ejemplo:

X^3=3X+1

h(X)=X^3 -3X-1=0

Bisección:

h(0) =-1 <0

h(2)=1>0

m=0+2/2=1

h(1)=-3

Hitero luego:

h(1)<0

h(2)>0

m2=1+2/2=1.5

h(1.5)=...(es menor a 0..) <0

Hitero:

h(1.5)<0

h(2)>0

m3=1.5+2/2=1.75

h(m3) todavia da negativo

Hitero:

h(1.75)<0

h(2)>0

m4=1.875

h(m4)=

Etc etc

Con N-R

X1=1 (punto de partida)

Xn+1=Xn-(DH(Xn))^(-1)*H(Xn)

>> Xap=2;

>> H=@(X) X.^3 -3*X-1;

>> DH=@(X) 3*X.^2-3;

>> Xap=Xap-(DH(Xap)^(-1)*H(Xap))

Xap =

    1.8889

>> Xap=Xap-(DH(Xap)^(-1)*H(Xap))

Xap =

    1.8795

>> Xap=Xap-(DH(Xap)^(-1)*H(Xap))

Xap =

    1.8794

>> Xap=Xap-(DH(Xap)^(-1)*H(Xap))

Xap =

    1.8794

>> Xap=Xap-(DH(Xap)^(-1)*H(Xap))

Xap =

    1.8794

Asintótico en 1.8794

a)

Verificar que para h(X)=x^3-3x-1 con N=5 se obtienen Xap=1.8794

b)

Buscar soluciones de exp(x)=x+5 a partir de X1=2

c) Buscar soluciones de X^4=10X^2+cos(X) a partir de algun x1 adecuado.

a)

>> Xap=2;

>> H=@(X) X.^3 -3*X-1;

>> DH=@(X) 3*X.^2-3;

>> Xap=Xap-(DH(Xap)^(-1)*H(Xap))

Xap =

    1.8889

>> Xap=Xap-(DH(Xap)^(-1)*H(Xap))

Xap =

    1.8795

>> Xap=Xap-(DH(Xap)^(-1)*H(Xap))

Xap =

    1.8794

>> Xap=Xap-(DH(Xap)^(-1)*H(Xap))

Xap =

    1.8794

>> Xap=Xap-(DH(Xap)^(-1)*H(Xap))

Xap =

    1.8794

Asintótico en 1.8794

b)

>> H=@(X) exp(X) - X - 5;

>> DH=@ (X) exp(X)-1;

>> X1=2;

>> Xap=N_R(H,DH,X1,10)

Xap =

    1.9368

>>

c)

>> H=@(X) X.^4-10*X.^2+cos(X);

>> DH=@(X) 4*X.^3-20*X-sin(X);

>> X1=1;

>> Xap=N_R(H,DH,X1,10)

Xap =

    0.3101

>> Xap=N_R(H,DH,X1,20)

Xap =

    0.3101

>> H(Xap)

ans =

    0

>> Xap=N_R(H,DH,4,20)

Xap =

    3.1779

>> H(Xap)

ans =

-5.3291e-015

d)

>> H=@ (V) [V(1)*V(2)+2*V(1).^2-2*V(2).^2-2+V(1); cos(V(2)+1)-V(1)^2+V(2)^2];

>> DH=@ (V) [V(2)+4*V(1)+1 V(1)-4*V(2); -2*V(1) -sin(V(2)+1)+2*V(2)];

>> Xap=N_R(H,DH,[1;-1],10)

Xap =

    1.4142

  -1.0000

>>